La Conjectura de Collatz, o 3x + 1

1910-1990

Existeixen multitud de problemes no resolts en matemàtiques. Els més famosos, els Problemes del
Mil·leni, proposats per l’Institut Clay de Matemàtiques, tenen una recompensa d’1 milió de $ cada un
per a qui els pugui resoldre. Aquests problemes són, però, enormement complexos, i per entendre’n
l’enunciat fa falta haver estudiat bastantes matemàtiques…

Un problema més fàcil d’entendre, però igualment difícil de resoldre, és conegut amb el nom de Con-
jectura de Collatz. En matemàtiques, una conjectura és una afirmació que es creu que és certa per algun motiu, però per la qual encara no existeix cap demostració que mostri clarament que és certa ni
cap contraexemple que demostri que és falsa. Vegem de què tracta aquest problema.

Escull un nombre natural (és a dir, positiu i sense part decimal), que anomenarem la llavor inicial. Les
normes són les següents:
• Si el nombre és parell, divideix-lo per 2.
• Si el nombre és senar, multiplica’l per 3 i suma-li 1.
Un cop obtinguis el nombre resultant, aplica-li de nou les mateixes normes. Al nombre que en resulti,
aplica-li novament les normes, i així successivament. Aquest llistat de nombres que obtenim s’anomena
la trajectòria de la llavor inicial. La Conjectura de Collatz diu que, agafem la llavor inicial que agafem,

si apliquem aquestes normes consecutivament, sempre acabarem arribant al nombre 1 (és a dir, la tra-
jectòria sempre acabarà en 1).

Fixa’t què passa si agafem 8 com a llavor inicial:

Fixa’t què passa si agafem 8 com a llavor inicial:
• 8 és parell, cal dividir-lo entre 2: 8/2 = 4
• 4 és parell, cal dividir-lo entre 2: 4/2 = 2
• 2 és parell, cal dividir-lo entre 2: 2/2= 1
• 1 és senar, cal multiplicar-lo per 3 i sumar-li 1: 3 · 1 + 1 = 4
• 4 ja l’hem fet abans, i sabem que va a 2, etc.


La trajectòria de la llavor inicial 8 hauria de ser {8, 4, 2, 1, 4, 2, 1, 4, 2, 1, …} ja que l’1 torna al 4, que ja sabem que anirà al 2, el qual anirà a l’1 novament, i així successivament. Això passarà sempre que
arribem a l’1, per tant per a simplificar direm que la trajectòria de 8 és {8, 4, 2, 1}.
Una variable d’interès en aquest problema és el nombre de passos que fan falta perquè una llavor inicial
acabi arribant a l’1. Aquest nombre s’anomena el temps total de finalització. En l’exemple de la llavor
inicial 8, el temps total de finalització és 3, perquè fan falta 3 passos a partir de la llavor inicial per
arribar al nombre 1.
L’objectiu d’aquesta activitat serà doncs estudiar les trajectòries que s’obtenen per a diferents llavors
inicials, amb l’objectiu de veure quins patrons s’observen, si és que n’hi ha. Una forma de visualitzar
aquestes trajectòries és elaborar-ne gràfics, així que aprendrem a fer-ne.
També aprendrem a crear varis programes d’ordinador que efectuïn els càlculs per a nosaltres, cosa
que ens permetrà poder anar molt més ràpid i obtenir gràfics de forma automatitzada.

Extret de Mathematics is not yet ready for such problems –– Paul Erdos

Per saber-ne més: https://www.dcode.fr/collatz-conjecture

Aquesta entrada ha esta publicada en Calaix de Sastre. Afegeix a les adreces d'interès l'enllaç permanent.

Deixa un comentari

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

Esteu comentant fent servir el compte WordPress.com. Log Out /  Canvia )

Twitter picture

Esteu comentant fent servir el compte Twitter. Log Out /  Canvia )

Facebook photo

Esteu comentant fent servir el compte Facebook. Log Out /  Canvia )

S'està connectant a %s